Vibração vertical em vagões ferroviários: modelo matemático com proposta preditiva

Irregularidades da via excitam a suspensão do vagão, elevam os esforços na interface roda-trilho e aceleram o desgaste de rodeiros, trilhos e truques. O artigo modela a resposta vertical do vagão como um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade, descrito por uma EDO de 2ª ordem sob excitação harmônica, e resolve a equação analiticamente nos regimes transitório, permanente e ressonante. A amplitude teórica obtida vira um critério físico inicial para uma arquitetura de monitoramento distribuído com acelerômetros ao longo da malha.

Muda, e essa é a principal limitação física do trabalho, declarada no artigo. A EDO descreve o deslocamento da massa do vagão, mas o acelerômetro está no trilho, e entre os dois existe a superestrutura da via (trilho, fixação, dormente e lastro), com rigidez e amortecimento próprios que não estão na equação. A densidade de pontos de medição ao longo da malha e o gatilho relativo, que compara o mesmo vagão em pontos diferentes, atenuam o efeito; por isso os limiares são tratados como indicativos, sujeitos a calibração.

Incluir a via exige outra equação. A via passa a ser uma segunda massa (m_t, trilho e dormente) apoiada na rigidez k_t e no amortecimento c_t da fixação e do lastro, ligada ao vagão (m_v) pela suspensão (k_s, c_s). O resultado é um sistema de dois graus de liberdade, com duas EDOs acopladas:

O acelerômetro passa a ler x_t″, a aceleração da via, e não mais a do vagão. Se a via fosse perfeitamente rígida (x_t = 0), a primeira equação voltaria a ser exatamente a EDO do artigo. Esse modelo de dois graus de liberdade não faz parte do artigo; é o desdobramento recomendado na conclusão.

Não são arbitrários, mas são iniciais, e o artigo os declara assim. O gatilho relativo de 30 % segue a prática da norma ISO 20816-1 de alarmar pela variação do RMS em relação à linha de base do próprio ativo, e não por valor absoluto. O gatilho absoluto de 50 % da aceleração RMS teórica na ressonância é um meio-termo preditivo: 80 % só alertaria com o vagão já próximo da ressonância, e valores baixos demais gerariam falsos alarmes em operação normal. O passo seguinte é calibrar os dois com normas técnicas e dados históricos de ensaios.

É o fechamento ideal do ciclo de monitoramento, e está na conclusão do artigo como trabalho futuro. Os dois sistemas se complementam: o sensor fixo na via avalia toda a frota que passa por aquele ponto, e os acelerômetros embarcados avaliam continuamente toda a malha por onde os vagões circulam. Medir no próprio vagão também reduz a distância entre o que o modelo descreve e o que é medido, atenuando a limitação da rigidez da via. Os pontos fixos seriam escolhidos com base no histórico de manutenção.

De propósito: o objetivo é um modelo que o engenheiro de manutenção interprete sem software especializado. O galope (bounce) é o modo vertical dominante e o que o acelerômetro no trilho mais enxerga. A comparação com o modelo de 210 graus de liberdade de Grando (2,39 Hz) mostra que a ordem de grandeza é preservada. É um ponto de partida, não o modelo final.

O modelo representa um conjunto roda-truque-suspensão. Um vagão tem dois truques com dois rodeiros cada, então cada conjunto carrega cerca de ¼ da massa da caixa carregada: 130 t ÷ 4 = 32,5 t.

É a hipótese mais forte do trabalho, e está declarada. A excitação de base é fisicamente mais fiel, mas leva a uma EDO da mesma forma, com o mesmo comportamento qualitativo (transitório, regime permanente e ressonância em ωₙ, ômega n); muda a expressão da amplitude. Como o objetivo é um critério inicial e interpretável, adotou-se a forma mais simples.

A senoide é o bloco básico: um perfil periódico de via se decompõe em senoides (série de Fourier) e, como o sistema é linear, a resposta é a soma das respostas a cada componente. Com dados reais de via, o passo seguinte é trabalhar com densidade espectral.

Por RFID (identificação por radiofrequência), como em Meneguim (2024): etiqueta no vagão e leitor junto ao ponto de medição. Cada passagem fica indexada por vagão e por ponto, o que permite cruzar os dados e separar defeito do vagão (alerta no mesmo vagão em vários pontos) de defeito da via (alerta de vários vagões no mesmo ponto).

Fonte: MENEGUIM, D. S. S. Aplicação de tecnologia de vibrações para análise e manutenção em rodas ferroviárias. In: 30ª Semana de Tecnologia Metroferroviária, 2024.

A contribuição não é o sensor, é a referência: um limiar derivado de um modelo físico do vagão, interpretável, em vez de um valor empírico fixo, mais a regra de cruzamento vagão × ponto. A proposta complementa detectores de impacto de roda, com foco em vibração e tendência.

A velocidade muda a frequência de excitação ω (ômega), pois ω = 2π·v/λ, em que v é a velocidade e λ (lambda) o comprimento de onda da irregularidade. Assim, existe uma velocidade crítica em que ω = ωₙ (ômega n) para um dado comprimento de onda de defeito. Vagão vazio tem massa menor e, portanto, ωₙ maior: o limiar de referência deve depender do estado de carga, informação que o RFID pode trazer do sistema de gestão da frota.

Ainda não. O artigo é explícito: os resultados não substituem validação experimental. Os próximos passos são calibrar ζ (zeta, a razão de amortecimento) e os limiares com dados de ensaio e norma, estender o modelo para dois graus de liberdade incluindo a via e integrar sensores fixos com acelerômetros embarcados.

Track irregularities excite the wagon suspension, raise wheel-rail contact forces and speed up wear of wheelsets, rails and bogies. The paper models the vertical response of the wagon as a single-degree-of-freedom mass-spring-damper, described by a second-order ODE under harmonic excitation, and solves it analytically in the transient, steady-state and resonant regimes. The resulting theoretical amplitude becomes an initial physical criterion for a distributed monitoring architecture with accelerometers along the network.

It does, and it is the main physical limitation of the work, stated in the paper. The ODE describes the displacement of the wagon mass, but the accelerometer sits on the rail, and in between lies the track superstructure (rail, fastening, sleeper and ballast), with its own stiffness and damping, which are not in the equation. Dense measurement points along the network and the relative trigger, which compares the same wagon at different points, mitigate the effect; that is why the thresholds are treated as indicative and subject to calibration.

Including the track requires another equation. The track becomes a second mass (m_t, rail and sleeper) resting on the stiffness k_t and damping c_t of fastening and ballast, linked to the wagon (m_v) by the suspension (k_s, c_s). The result is a two-degree-of-freedom system with two coupled ODEs:

The accelerometer then reads x_t″, the track acceleration, rather than the wagon's. If the track were perfectly rigid (x_t = 0), the first equation would reduce exactly to the paper's ODE. This two-degree-of-freedom model is not part of the paper; it is the follow-up recommended in its conclusion.

They are not arbitrary, but they are initial, and the paper states so. The 30 % relative trigger follows the ISO 20816-1 practice of alarming on RMS change from the asset's own baseline rather than on an absolute value. The absolute trigger at 50 % of the theoretical RMS acceleration at resonance is a predictive compromise: 80 % would only alert once the wagon is already near resonance, and values that are too low would cause false alarms in normal operation. The next step is to calibrate both with technical standards and historical test data.

That closes the monitoring loop, and the paper's conclusion lists it as future work. The two systems complement each other: the wayside sensor assesses the whole fleet passing that point, while on-board accelerometers continuously assess the whole network the wagons run on. Measuring on the wagon itself also narrows the gap between what the model describes and what is measured, easing the track-stiffness limitation. Wayside points would be chosen based on maintenance history.

On purpose: the goal is a model a maintenance engineer can interpret without specialized software. Bounce is the dominant vertical mode and the one a rail-mounted accelerometer sees most. Comparison with Grando's 210-DOF model (2.39 Hz) shows the order of magnitude is preserved. It is a starting point, not the final model.

The model represents one wheel-bogie-suspension set. A wagon has two bogies with two wheelsets each, so each set carries about ¼ of the loaded body mass: 130 t ÷ 4 = 32.5 t.

It is the strongest assumption of the work, and it is stated. Base excitation is physically more faithful but leads to an ODE of the same form, with the same qualitative behaviour (transient, steady state and resonance at ωₙ, omega n); only the amplitude expression changes. Since the goal is an initial, interpretable criterion, the simpler form was adopted.

The sine is the building block: a periodic track profile decomposes into sines (Fourier series) and, since the system is linear, the response is the sum of the responses to each component. With real track data, the next step is to work with spectral density.

Through RFID (radio-frequency identification), as in Meneguim (2024): a tag on the wagon and a reader at the measurement point. Each pass is indexed by wagon and point, which allows cross-checking to separate a wagon defect (alerts on the same wagon at several points) from a track defect (alerts from several wagons at the same point).

Source: MENEGUIM, D. S. S. Aplicação de tecnologia de vibrações para análise e manutenção em rodas ferroviárias [Application of vibration technology to railway wheel analysis and maintenance]. In: 30th Semana de Tecnologia Metroferroviária, 2024.

The contribution is not the sensor but the reference: a threshold derived from an interpretable physical model of the wagon instead of a fixed empirical value, plus the wagon × point cross-check rule. It complements wheel-impact detectors, focusing on vibration and trends.

Speed changes the excitation frequency ω (omega), since ω = 2π·v/λ, where v is the speed and λ (lambda) the irregularity wavelength. So there is a critical speed at which ω = ωₙ (omega n) for a given defect wavelength. An empty wagon has less mass and thus a higher ωₙ: the reference threshold should depend on load state, which RFID can pull from the fleet management system.

Not yet. The paper is explicit that results do not replace experimental validation. Next steps are calibrating ζ (zeta, the damping ratio) and the thresholds with test data and standards, extending the model to two degrees of freedom including the track, and combining wayside sensors with on-board accelerometers.